বাস্তব সংখ্যা

দ্রুত দেখে নাও — অঙ্ক করার সময় খোলা রাখতে পারো।

• মূলদ সংখ্যা

  $$x=\dfrac{p}{q}$$$$q\neq 0$$

  p ও q পূর্ণসংখ্যা। এভাবে না লিখলে সংখ্যাটা অমূলদ।

• সসীম দশমিক

  $$0.d_1d_2\ldots d_k=\dfrac{m}{10^k}$$

  m বিন্দুর পরের অঙ্ক দিয়ে তৈরি সংখ্যা। k ঘর মানে হরে ১ এর পরে k টা ০।

• এক অঙ্ক আবৃত্ত

  $$0.\dot{a}=\dfrac{a}{9}$$

  একটা অঙ্ক ঘুরলে হর ৯।

• দুই অঙ্ক আবৃত্ত

  $$0.\dot{a}\dot{b}=\dfrac{10a+b}{99}$$

  যত অঙ্ক ঘোরে, হরে ততগুলো ৯।

• মিশ্র আবৃত্ত

  $$(10^{m+n}-10^m)\,x=N_{m+n}-N_m$$

  m টা অনাবৃত্ত আর n টা আবৃত্ত অঙ্ক। ডান পাশ পুরো অঙ্কের সংখ্যা থেকে অনাবৃত্ত অংশ বাদ।

• বর্গের সীমা

  $$a^2\le N<(a+1)^2\Rightarrow a\le\sqrt{N}<a+1$$

  N কোন দুই পরপর পূর্ণবর্গের মাঝে, মূলও সেই দুই পূর্ণসংখ্যার মাঝে।

• ভাগ পদ্ধতির ধাপ

  $$(10a+d)^2=100a^2+d(20a+d)$$

  এ পর্যন্ত মূল a, পরের অঙ্ক d। ভাজক হলো ২০a এর পাশে d।

• তিন অঙ্ক আবৃত্ত

  $$0.\dot{a}\dot{b}\dot{c}=\dfrac{100a+10b+c}{999}$$

  তিন অঙ্ক ঘুরলে হর ৯৯৯।

• সসীম হর

  $\dfrac{p}{2^{m}5^{n}}$

  সরল ভগ্নাংশের হর শুধু ২ ও ৫ হলে দশমিক থামে।

• অমূলদ বর্গমূল

  $$n\neq k^{2}\Rightarrow\sqrt{n}\notin\mathbb{Q}$$

  n স্বাভাবিক, k পূর্ণসংখ্যা। পূর্ণবর্গ হলে মূল মূলদ।

• হর মূলদকরণ

  $$\dfrac{1}{\sqrt{a}-b}=\dfrac{\sqrt{a}+b}{a-b^{2}}$$

  হরের অনুবন্ধী দিয়ে গুণ। a − b² শূন্য নয়।

• নয়ের আবৃত্ত

  $$0.\dot{9}=1$$

  নয় ঘুরতে থাকলে মান পুরো ১।

প্রতিটি অঙ্কে তিন লাইন: প্রশ্ন, তারপর শর্টকাটটা প্রশ্নের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে, তারপর উত্তর।

1. ১

   হর দেখে দশমিক

   ভগ্নাংশকে সরল করো। হরে শুধু ২ আর ৫ থাকলে দশমিক থামে, অন্য মৌলিক থাকলে ঘোরে।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      ভগ্নাংশ $\dfrac{3}{8}$। এর দশমিক থামবে, না ঘুরবে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর $8$। শর্টকাট: $$8=2^3$$, শুধু ২ আছে, তাই দশমিক থামে।

      উত্তর

      থামে, $0.375$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      ভগ্নাংশ $\dfrac{5}{6}$। এর দশমিক কেমন?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর $6$। শর্টকাট: $$6=2\times 3$$, ৩ আছে, তাই দশমিক ঘোরে।

      উত্তর

      $0.8\dot{3}$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      ভগ্নাংশ $\dfrac{7}{20}$। এর দশমিক থামবে কি?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে হর $20$। শর্টকাট: $$20=2^2\times 5$$, শুধু ২ ও ৫, তাই দশমিক থামে।

      উত্তর

      থামে, $0.35$

2. ২

   আবৃত্ত আগে ভগ্নাংশ

   যোগ, বিয়োগ, গুণ বা ভাগের আগে আবৃত্ত দশমিককে ভগ্নাংশ বানাও। ঘোরা অঙ্কে সরাসরি হিসাব ভুল হয়।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $0.\dot{3}$ আর $0.\dot{6}$ যোগ করতে হবে। যোগফল কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো আবৃত্ত দশমিকের যোগ। শর্টকাট: আগে ভগ্নাংশ, $$0.\dot{3}=\dfrac{1}{3}$$, $$0.\dot{6}=\dfrac{2}{3}$$, যোগ $\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}$।

      উত্তর

      $1$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $0.\dot{2}$ আর $0.\dot{4}$ গুণ করতে হবে। গুণফল কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটো আবৃত্ত দশমিকের গুণ। শর্টকাট: $$0.\dot{2}=\dfrac{2}{9}$$, $$0.\dot{4}=\dfrac{4}{9}$$, গুণ $\dfrac{2}{9}\times\dfrac{4}{9}$।

      উত্তর

      $\dfrac{8}{81}$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $0.\dot{6}$ কে $0.\dot{3}$ দিয়ে ভাগ করতে হবে। ভাগফল কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে আবৃত্ত দশমিকের ভাগ। শর্টকাট: $$0.\dot{6}=\dfrac{2}{3}$$, $$0.\dot{3}=\dfrac{1}{3}$$, ভাজক উল্টে গুণ $\dfrac{2}{3}\times 3$।

      উত্তর

      $2$

3. ৩

   হরের ৯ আর ০

   বিশুদ্ধ আবৃত্তে হর শুধু ৯। মিশ্র আবৃত্তে আগে ৯, পরে অনাবৃত্ত ঘরের সমান ০।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $0.\dot{7}$ এ এক অঙ্ক ঘুরছে। একে ভগ্নাংশ করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে এক অঙ্ক বিশুদ্ধ আবৃত্ত। শর্টকাট: হর একটা ৯, লব ৭।

      উত্তর

      $\dfrac{7}{9}$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $0.\dot{2}\dot{5}$ এ দুই অঙ্ক ঘুরছে। একে ভগ্নাংশ করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুই অঙ্ক ঘোরে। শর্টকাট: হর ৯৯, লব ২৫।

      উত্তর

      $\dfrac{25}{99}$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $0.1\dot{6}$ এ অনাবৃত্ত ১ ঘর, তারপর ৬ ঘোরে। একে ভগ্নাংশ করো।

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে অনাবৃত্ত ১ ঘর, আবৃত্ত ১ ঘর। শর্টকাট: হর ৯০। লব $16-1=15$।

      উত্তর

      $$\dfrac{15}{90}=\dfrac{1}{6}$$

4. ৪

   MCQ তে পরিবার বাদ

   √২, √৩ বা π থেকে মূলদ বানানো যায় না। যোগ বা গুণে অমূলদ থেকে গেলে উত্তর অমূলদ।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $3+\sqrt{2}$ কোন পরিবারের, মূলদ না অমূলদ?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $3$ এর সঙ্গে $\sqrt{2}$ যোগ। শর্টকাট: $3$ মূলদ, $\sqrt{2}$ অমূলদ। যোগে অমূলদ থেকে যায়, মূলদ বাদ।

      উত্তর

      অমূলদ

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $\sqrt{4}\times\sqrt{9}$ কোন পরিবারের সংখ্যা?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে দুটোই পূর্ণবর্গ। শর্টকাট: $$2\times 3=6$$, অমূলদ বাকি নেই।

      উত্তর

      মূলদ, $6$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $\pi+1$ মূলদ হতে পারে?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $\pi$ এর সঙ্গে $1$ যোগ। শর্টকাট: $\pi$ অমূলদ। $1$ যোগ করলেও অমূলদ থাকে। মূলদ বাদ।

      উত্তর

      অমূলদ

5. ৫

   বর্গ চেপে অঙ্ক

   পূর্ণ অঙ্কের জন্য এমন a নাও যাতে a², N এর সমান বা তার চেয়ে ছোট সবচেয়ে বড় বর্গ।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      $\sqrt{50}$ এর পূর্ণ অংশ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $50$। শর্টকাট: $$7^2=49\le 50$$, $$8^2=64>50$$। সবচেয়ে বড় বর্গ ৪৯, তাই $a=7$।

      উত্তর

      $7$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      $\sqrt{20}$ এর পূর্ণ অংশ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $20$। শর্টকাট: $$4^2=16\le 20$$, $$5^2=25>20$$। তাই $a=4$।

      উত্তর

      $4$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      $\sqrt{81}$ এর পূর্ণ অংশ কত?

      শর্টকাট এখানে

      প্রশ্নে $81$। শর্টকাট: $$9^2=81$$, $N$ এর সমান সবচেয়ে বড় বর্গ। তাই $a=9$।

      উত্তর

      $9$

প্রতিটি অঙ্কে আগে একটা লেখা উত্তর, তারপর যাচাইটা সেই উত্তরের ঠিক কোন জায়গায় লাগছে।

1. ১

   আবার দশমিকে

   ভগ্নাংশ পেয়ে ভাগ করো। যে অঙ্ক ঘোরার কথা, সেটাই ঘুরলে উত্তর ঠিক।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$0.\dot{3}=\dfrac{1}{3}$$। ভাগ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ডান পাশের ভগ্নাংশ। $$1\div 3=0.333\ldots$$। ৩-ই ঘোরে। বামের সাথে মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $\dfrac{1}{3}$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$0.\dot{2}=\dfrac{1}{4}$$। ভাগ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ডান পাশের ভগ্নাংশ। $$1\div 4=0.25$$, থেমে যায়, ২ ঘোরে না। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, আসল $\dfrac{2}{9}$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$0.\dot{1}\dot{8}=\dfrac{2}{11}$$। ভাগ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: ডান পাশের ভগ্নাংশ। $$2\div 11=0.1818\ldots$$। ১৮-ই ঘোরে। বামের সাথে মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, $\dfrac{2}{11}$

2. ২

   লব-হর গসাগু

   ভগ্নাংশকে সরল না করে রেখে দিলে অঙ্ক মিলবে না। গসাগু দিয়ে ছোট করো।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $0.\dot{6}$ এর ভগ্নাংশ $\dfrac{6}{9}$। সরল রূপ যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভগ্নাংশ সরল হয়েছে কি না। গসাগু ৩। $$6\div 3=2$$, $$9\div 3=3$$। না ছোট করলে মিলবে না।

      উত্তর

      $\dfrac{2}{3}$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $\dfrac{15}{90}$ আর $\dfrac{1}{6}$ একই। গসাগু দিয়ে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই ভগ্নাংশ সরল করলে মেলে কি না। গসাগু ১৫। $$15\div 15=1$$, $$90\div 15=6$$। মেলে, তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      হ্যাঁ, $\dfrac{1}{6}$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$0.\dot{4}=\dfrac{4}{9}$$ কে $\dfrac{2}{9}$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: $\dfrac{4}{9}$ আরও ছোট হয় কি না। ৪ আর ৯ এর গসাগু ১, আর ছোট হয় না। $$\dfrac{2}{9}=0.\dot{2}$$। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $\dfrac{4}{9}$

3. ৩

   বর্গ করে মেলানো

   আসন্ন মূলকে বর্গ করো। N এর কাছে থাকলে ঠিক, দূরে গেলে শেষ অঙ্ক ভুল।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $\sqrt{2}\approx 1.4$। বর্গ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা আসন্ন মানের বর্গ। $$1.4^2=1.96$$, ২ এর কাছে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, কাছে

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $\sqrt{7}\approx 3$। বর্গ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা আসন্ন মানের বর্গ। $$3^2=9$$, ৭ থেকে দূরে। $$2^2=4$$ অনেক কাছে। তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, পূর্ণ অংশ $2$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $\sqrt{50}\approx 7.1$। বর্গ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা আসন্ন মানের বর্গ। $$7.1^2=50.41$$, ৫০ এর কাছে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      ঠিক, কাছে

4. ৪

   ০.৯̇ সমান ১

   ০.৯৯৯… কে ১ না ধরলে পরের হিসাব এক ঘর সরে যায়।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$0.\dot{9}=1$$। ভগ্নাংশ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা সমতা। $$0.\dot{9}=\dfrac{9}{9}=1$$। মান ১। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $1$

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$0.\dot{9}+0.\dot{1}=1.0\dot{9}$$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা যোগফল। $$0.\dot{9}=1$$, $$0.\dot{1}=\dfrac{1}{9}$$। যোগ $$\dfrac{10}{9}=1.\dot{1}$$। লেখাটা এক ঘর সরেছে, তাই ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $1.\dot{1}$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$1-0.\dot{9}=0$$, কারণ $$0.\dot{9}=1$$। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা বিয়োগ। $1-1=0$। ০.৯̇ কে ১ ধরলে বিয়োগ ০। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      $0$

5. ৫

   চিহ্ন ও পরিবার

   মূলদ + অমূলদ অমূলদ। উত্তর ভগ্নাংশ হলে সেখানে অমূলদ বাকি থাকা চলবে না।

   1. অঙ্ক ১

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $3+\sqrt{2}$ কে ভগ্নাংশ বানানো যায়। যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা ভগ্নাংশ। মূলদ + অমূলদ = অমূলদ। ভগ্নাংশে অমূলদ বাকি থাকত না। তাই লেখাটা ভুল, যায় না।

      উত্তর

      না, অমূলদ

   2. অঙ্ক ২

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $$\sqrt{4}+\sqrt{9}=\sqrt{13}$$। দুই পাশ যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: দুই পাশের পরিবার। বাম পাশ $2+3=5$, মূলদ। ডান পাশ অমূলদ। পরিবার মেলে না, তাই লেখাটা ভুল।

      উত্তর

      ভুল, $5$

   3. অঙ্ক ৩

      প্রশ্ন

      একজন লিখল $\sqrt{2}\times\sqrt{8}$ মূলদ। গুণ করে যাচাই করো।

      যাচাই এখানে

      যাচাই: লেখা গুণফলের পরিবার। $$\sqrt{16}=4$$, মূলদ। অমূলদ কাটাকাটি হয়ে গেছে। তাই লেখাটা ঠিক।

      উত্তর

      মূলদ, $4$